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      1. 第五屆全國中學生數理化學科能力展示活動八年級數學解題技能展示試題及解答 - 下載本文

        第五屆全國中學生數理化學科能力展示活動

        八年級數學解題技能展示試題解答

        試卷說明:1、本試卷共計15題,滿分為120分

        總分 2、考試時間為120分鐘

        本題得分 評卷人 一、選擇題(共6小題,每題6分,共36分)

        1、已知a=2010x+2011,b=2010x+2012,c=2010x+2013,則多項式a2+b2+c2

        -ab-bc-ca的值為 D .

        A. 0; B. 1; C. 2; D. 3

        解:a2

        +b2

        +c2

        -ab-bc-ca=12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2

        ] =12×6=3

        2、直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,D為AB延長線上一點,點E在邊BC上,且BE=BD,則∠BCD與∠CAE的度數和為 B

        A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

        解: 因為, △ABE≌△CBD,所以∠BCD=∠BAE . ∠BCD+∠CAE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=45°. 3、In the United States,have the following thicknesses:penny,1.55mm;nickel,1.95mm;dime,1.35mm;

        quarter,1.75mm.If a stack of these coins is exactly 14 mm higt,how many coins are in the stack?(B) A. 7; B. 8; C.9; D. 10. 解:譯文:在美國,有以下厚度的硬幣:1

        美分,1.55mm; 5

        美分,1.95mm;1角硬幣1.35m; 四分之一美元,1.75mm. 如果一堆這些硬幣正是14毫米, 有多少硬幣堆在一起?

        設4種硬幣的數量分別為a、b、c、d. 則1.55a+1.95b+1.35c+1.75d=14, 155a+195b+135c+175d=1400, 31a+39b+27c+35d=280,

        3a+11b-c+7d+28(a+b+c+d )=280, 3a+11b-c+7d=28[10-(a+b+c+d)] ∴a+b+c+d≦10.

        當a+b+c+d=10(1)時, 3a+11b-c+7d=0(2)

        (1)+(2)得:4a+12b+8d=10,2a+6b+4d=5(左偶右奇,不合題意) 同理當a+b+c+d=9時,4a+12b+8d=37(左偶右奇,不合題意)

        當a+b+c+d=7時,4a+12b+8d=7+3×28(左偶右奇,不合題意) 只有a+b+c+d=8符合。

        1

        4、有一種微生物的生殖方式為分裂生殖,1個該生物每次裂變為5個,這5個微生物中的每一個又可依次裂變為5個微生物,依次類推。那么在一定時間內,1個微生物可以裂變為( B )個快樂細胞。

        A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015 解: 因為, 625=5 < (2012~2015) < 5=3075

        所以625個快樂細胞未完全裂變,設其中有x個已裂變,則裂變總數為 (625-x)+5x=625+4x=4(156+x)+1,被4除余1 符合條件的只有(B)

        5、規定:正整數n的“H運算”是:⑴當n為奇數時,H=3n+13;⑵當n為偶數時,H=n÷2,其中H為奇數,k為正整數.如12經過1次“H運算”的結果是3,經過2次“H運算”的結果是22,經過3次“H運算”的結果是11,那么數34經過34次“H運算”的結果為( B ) A. 1; B. 16; C. 17; D. 34 解:(1)H= n÷2 =34÷2=17 (2) H=3×17+13=64 (3)H=64÷2 =1 (4)H=3×1+13=16 (5)H=16÷2=1

        (6)H=3×1+13=16,??? 所以(34)H=16 (B)

        6、若規定,如果A的身高或體重至少有一項比B大,則稱A不亞于B.在100個小伙子中。

        如果某人不亞于其他99人,就稱他是棒小伙.那么100個小伙子中的棒小伙子最多可能有 ( D )個.

        A. 1 B. 2 C. 50 D. 100

        解答:將身高和體重按從小到大排列,分別編號為1、2、3?、100;用格式(身高,體重)表示為坐標形式。

        假如這100個小伙子的情況為(1,100)、(2,99),(3,97)?(100,1);

        任取其中一個,則其身高都比其前面的人高,體重都比后面的重,所以這100人都可以是棒小伙。

        二、填空題(每題8分,共48分)

        7、在一個圓形時鐘的表面,OA表示秒針,OB表示分針(O為兩針的旋轉中心),若現在時間恰好是12點整,則經過( )秒鐘后,三角形OAB的面積第一次達到最大。 解:當∠AOB=90°時,△AOB的面積最大。(△AOB的面積=

        kkk

        k

        k

        4

        5

        1OA·OBsin∠AOB) 2秒針轉速:360°÷60=6°/秒,分鐘轉速360°÷(60×60)=0.1°/秒,

        15 598、山西省某鄉鎮學校對其義務教育階段貧困學生實行減免教材費和雜費,其中小學生每人每學期減免33元,中小學每人每學期減免67元.本學期該學校共減免6635元,其中有不到100名小學生享受到了這種減免,則享受到這種減免的中學生有__68____人?

        解:設有x名小學生享受到了這種減免,有y名中學生享受到這種減免,則

        33x+67y=6635

        90÷(6-0.1)=90/5.9=900/59=15

        2

        6635-67y=33x﹤33×100=3300,67y﹥3335,y≧49, x=(6635-67y)÷33=(199-2y)+(68-y)÷33, 68-y=0時,y=68,x=63. 9、研究指出,到達地球表面的太陽輻射能的幾條主要去路: ①直接反射 ②以熱能方式離開地球 ③水循環 ④大氣流動 ⑤光合作用 52,000×109千焦/s 81,000×109千焦/s 40,000×109千焦/s 370×109千焦/s 40×109千焦/s 請選用以上數據計算: (1)地球對太陽能的利用率為--------; (2)通過光合作用,每年有 ---------千焦的太陽能轉化為化學能(每年按365天計); 解:分析:(1)表中提供的熱量是太陽能的總能量,其中③④⑤是利用了的能量. (2)由每秒利用的能量可以計算出每年利用的能量. (1)地球對太陽能的利用率為 40000×109kJ/s+370×109kJ/s+40×109kJ/s 52000×109kJ/s+81000×109kJ/s+40000×109kJ/s+370×9kJ/s+40×109kJ/s ×100%≈23.3% (2)每年通過光合作用轉化為化學能的太陽能為 40×109kJ/s×31536000s=1.26144×1018kJ

        10、如圖,在一個面積為1的正方形草地中先把各邊分成n等分,然后按如圖所示將各邊第一個等分點與另一邊的第(n-1)個等分點連結起來,發現正中央所形成的四邊形的面積恰好為1/3362.則n 的值為_____。

        3

        1

        解:發現正中央所形成的四邊形的為正方形,其邊長為n ×2,面積為 2÷n2

        所以:2÷n2=1/3362

        n2=3362×2=82, n=82

        2

        11、二十世紀著名的數學家諾伯特?維納,從小聰穎過人,3歲時就能讀寫,14歲時就大學畢業。幾年后,他又通過了博士論文答辯成為了美國哈佛大學的科學博士。

        在博士學位的授予儀式上,執行主席看到一臉稚氣的維納,很是驚訝,于是就詢問他的年齡,維納的回答十分巧妙:“我今年的歲數與歲數的平方的乘積是一個四位數,歲數的平方的平方是個六位數,這兩個數剛好把10個數字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上,不重不漏,這意味著全體數字都像我稱臣,預祝我將來在數學領域里一定能干出一番驚天動地的大事業。”

        維納此言一出,四座皆驚,大家都被他的這道妙題深深地吸引住了,整個會場都在討論他的年齡。維納的年齡是______.

        解:18*18*18=5832,18*18*18*18=104976 我們先來研究維納年齡可能的“上限”: 不難發現,21的立方是四位數,而22的立方已經是五位數了,所以維納的年齡最多是21歲; 再來研究維納年齡可能的“下限”:18的四次方是六位數,而17的四次方則是五位數了,所以維納的年齡至少是18歲。 這樣,維納的年齡只可能是18、19、20、21這四個數中的一個。 剩下的工作就是一一篩選了。 20的立方是8000,有3個重復數字0,不合題意。 同理,19的四次方等于130321,21的四次方等于194481,都不合題意。 最后只剩下一個18,是不是正確答案呢?驗算一下,18的立方等于5832,四次方等于104976,恰好“不重不漏”地用完了十個阿拉伯數字,多么完美的組合!

        12、近年來我國網球運動得到了極大的發展,特別是女子網球,在過去的兩年中,李娜、彭帥、鄭潔等中國選手在代表國際網球最高水平的四大滿貫賽事中取得了不俗的成績,讓國人倍感驕傲.網球大滿貫賽事共有128名選手參加,現行規則是淘汰制(即全部選手抽簽進行比賽,勝方進入下一輪比賽,敗方則淘汰出局,經過若干輪比賽后決出冠軍),則共有N場比賽.如果實行單循環賽(任意的兩人都會打一場,最后統計勝利場數,最多勝利場數則為冠軍,如果分數相同,則名次并列,不再追加場數)則共有M場比賽,問N:M=_____. 解:128=2,N=1+2+4+8+16+32+64=2-1=127; M=128×(128-1)÷2=64×127;N:M=1:64.

        7

        7

        4

        一般地,若共有n=2名選手參賽,則N=1+2+4+8+?+2=2 -1=n-1; M=n×(n-1)÷2;N:M=2:n.

        tt-1t

        三、解答題(每題12分,共計36分)

        13、如圖,已知一次函數y=kx+b的圖像經過點A(1,0),與反比例函數的圖像y=2/x(x>0)有交點

        (1)求的取值范圍.

        (2)如果上述兩函數的圖像交于點B,且三角形OAB的面積為1,求一次函數y=kx+b的解析式.

        解:(1)因為一次函數y=kx+b的圖像經過點A(1,0),所以0=k+b,b=-k, 2/x=kx-k,kx-kx-2=0, △ =k+8k≥0,k≥0或k≤-8.

        (2)三角形OAB的面積=

        2

        2

        y B o A x 1×OA×yB 2 所以yB =2,所以B(1,2),AB垂直于x軸,

        一次函數為x=1.( 注此題可能出錯,三角形OAB的面積不應是1)

        14、8個人乘速度相同的兩輛小汽車同時趕往火車站,每輛車乘4人(不含司機),其中一輛小汽車在距離火車站15km的地方出現故障,此時距停止檢票的時間還有42分鐘,這時唯一可利用的交通工具是另外一輛小汽車,已知包括司機在內這輛車限乘5人,且這輛車的平均速度是60km/h,人步行的平均速度是5km/h.試設計兩種方案,通過計算說明這8個人能夠在停止檢票前趕到火車站。

        解:方案一:4人下車步行,另4人乘小汽車送到火車站,立即返回,與步行4人相遇 ,此時用時為:(15×2)÷(60+5)=6/13(h);

        小汽車再將步行4人送到火車站,再用時:(15-5×6/13)÷60=11/52(h); 合計用時:6/13+11/52=35/52(h)=40.4(分鐘).

        方案二:4人下車步行,將另4人乘小汽車送到距離火車站2km處,這4人步行去火車

        5

        站,小汽車立即返回,與先行步行4人相遇{此時用時(13×2)÷(60+5)=2/5(h)} ,小汽車再將步行4人送到火車站。 前4人用時:13/60+2/5=37/60(h)=37分鐘。 后4人用時:2/5+(15-5×2/5)÷60=37分鐘。

        15、如圖,有一種新型臺球桌,桌面為等邊三角形,頂點處各有一個球袋.從A點向BC的三等分點D打出一個球,經過多次反彈后落袋.

        (1)球落到A、B、C哪個袋中?請畫出球的運動軌跡.(2)證明你的結論.

        A E F B

        C D 解:(1)球落到B袋中.軌跡如圖.

        (2)在△BDE和△CDA中,

        ∠B=∠C=60°,∠BDE=∠CDA,∴△BDE∽△CDA BE:CA=BD:CD=1:2 BE=

        112CA=2AB=AE,即E為AB中點. 在△BDE和△AFE中,

        ∠B=∠A=60°,∠BED=∠AEF,BE=AE∴△BDE≌△AEF ∴AF=BD,CD=CF,從而△CDA≌△CFB ∴ ∠CFB=∠CDA=∠BDE=∠AFE.

        濟寧市任城區濟東中學數學組供稿

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